Question

设a是v上线性变换证明（1）a是单射线性变换充分条件为kera=（0）

设a是v上线性变换证明（1）a是单射线性变换充分条件为kera=（0）（2）A是单射线性变换充要条件为，A把线性无关的向量组变为线性无关向量组

Answer 1

可以用反证法说明，假设A不是单射，则在线性空间V中存在两个向量a和b（a≠b）,使得A(a)=A(b

根据线性变换的定义,有A(a-b)=A(a)-A(b)=0

令向量c=a-b（≠0）,则A(c)=0

如果已知kerA={0},则与“存在c≠0使得A(c)=0”矛盾,也就是A必定是单射

同理，如果已知A是单射，假设kerA≠{0}，则存在c≠0使得A(c)=0

令c=a-b，则A(c)=A(a)-A(b)=0，A(a)=A(b)，这与A是单射矛盾

综上A是单射和kerA={0}等价

扩展资料

在有限维线性空间中，线性变换单射的充要条件是满射或者双射或者线性变换的表示矩阵可逆。在无限维空间中，不一定成立。

而在有限维空间中，线性映射单射的充要条件是表示矩阵列满秩，满射的充要条件是行满秩（也可以说是：线性映射单射的充要条件是核等于零空间，线性映射满射的充要条件是像空间的维数等于原空间的维数）