Question

已知函数f(x)=(a^x -1)/(a^x+1) (a>0,a≠1) 求（1）f(x)的定义域，值域

（2）讨论f(x)的奇偶性 （3）讨论f(x)的单调性 我要完整步骤

Answer 1

解(1)求f(x)的值域. 因为0<a^x<+∞,所以 f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1, f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1, 因此,f(x)的值域为(-1,1). (2)判断f(x)的奇偶性. 因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且 f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x) =-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x), 所以,f(x)是奇函数. (3)讨论f(x)的单调性. (i)当a>1时 设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是 f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2) =[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)] =2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]>0, 所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减. 因此,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. (ii)当0<a<1时 设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是 f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2) =[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)] =2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0, 所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增. 由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增. 因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增. 综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.