Question

已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1,(a>0,b>0)的一个焦点为(根号5，0)离心率为根号5/

已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1,(a>0,b>0)的一个焦点为(根号5，0)离心率为根号5/3
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点，且点p到椭圆的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程

Answer 1

(1)c=√5，√5/a=√5/3，∴a=3,b^2=4,
∴椭圆C的标准方程是x^2/9+y^2/4=1.①
（2）直线y=kx-kx0+y0,②是椭圆的切线，
代入①，4x^2+9(kx+y0-kx0)^2=36,
整理得（4+9k^2)x^2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)^2-36=0,
∴△/36=9k^2(y0-kx0)^2-(4+9k^2)[(y0-kx0)^2-4]=0,
∴4(y0-kx0)^2-16-36k^2=0,
∴（y0-kx0)^2-4-9k^2=0,
展开，整理得(x0^2-9)k^2-2x0y0k+y0^2-4=0,③
与直线②垂直的直线也是椭圆的切线，所以，以-1/k代k得
(x0^2-9)/k^2+2x0y0/k+y0^2-4=0,
即(y0-4)k^2+2x0y0k+x0-9=0,④
③+④，(x0^2+y0^2-13)(k^2+1)=0,
∴x0^2+y0^2-13=0，
∴点P的轨迹方程是x^2+y^2=13.