Question

【数学代数】关于代数多项式的菜鸟问题

如果f(x) = x^3+x+1可约，它一定有一个二次因式和一个一次因式。如何证明？

Answer 1

证明：f(x)导数f‘(x)=3x²+1>0恒成立
所以f(x)单调递增函数
f(0)=1，f(-1)=-1，f(0)f(-1)<0
于是f(x)在(-1，0)上有唯一实数根，设为a
则f(x)=(x-a)g(x)，且g(x)=0在R上无解
很明显g(x)为形如x²+bx+c的二次多项式即
f(x)=(x-a)(x²+bx+c)证毕