Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2）， ∴AP⊥OA， 则AP为圆O的切线； （2）连接OP，OB，过B作BQ⊥OC， ∵PA、PB为圆O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4， ∵AP ∥ OC， ∴∠APO=∠POC， ∴∠BPO=∠POC， ∴OC=CP， 在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB-PC=4-x，OB=2， 根据勾股定理得：OC 2 =OB 2 +BC 2 ，即x 2 =4+（4-x） 2 ， 解得：x=2.5， ∴BC=4-x=1.5， ∵S △OBC = 1 2 OB?BC= 1 2 OC?BQ，即OB?BC=OC?BQ， ∴BQ= 2×1.5 2.5 =1.2， 在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ= O B 2 -B Q 2 =1.6， 则B坐标为（1.6，-1.2）．