Question

（Ⅰ）求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程．（Ⅱ

（Ⅰ）求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2 7 的圆的方程．（Ⅱ）设定点M（-3，4），动点N在圆x 2 +y 2 =4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

Answer 1

（Ⅰ）设圆心为（a，3a）， 由圆与x轴相切可得圆的半径r=3|a|． ∵圆心到直线的距离d= |a-3a| 2 = 2 a ，圆被直线x-y=0截得的弦长为2 7 ， ∴根据垂径定理，得r 2 =d 2 +（ 7 ） 2 ， 即9a 2 =2a 2 +7，解得a=±1． 由此可得所求圆的圆心为（1，3）或（-1，-3），半径r=3． ∴圆C的方程为 （x+1） 2 +（y+3） 2 =9或 （x-1） 2 +（y-3） 2 =9． （Ⅱ）设P（x，y），圆上的动点N（x 0 ，y 0 ），则 线段OP的中点坐标为（ x 2 ， y 2 ），线段MN的中点坐标为（ x 0 -3 2 ， y 0 +4 2 ）， 又∵平行四边形的对角线互相平分， ∴ x 2 = x 0 -3 2 y 2 = y 0 +4 2 ，可得x 0 =x+3且y 0 =y-4， ∴N坐标为（x+3，y-4）， N点坐标应满足圆的方程，代入化简可得（x+3） 2 +（y-4） 2 =4， 直线OM与轨迹相交于两点（- 9 5 ， 12 5 ）和（- 21 5 ， 28 5 ），不符合题意，舍去 因此，所求点P的轨迹方程为（x+3） 2 +（y-4） 2 =4（点（- 9 5 ， 12 5 ）和（- 21 5 ， 28 5 ）除外）．