Question

求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2√7,的圆的方程

Answer 1

解：
设⊙O的园心为（a，b）
⊙O的方程:(x-a)²+(y-b)²=r²
已知⊙O与x轴相切，故r=|b|
⊙O:(x-a)²+(y-b)²=b²
已知圆心在直线3x-y=0上,故3a-b=0
b=3a......(1)
⊙O截得直线y=x所得弦长为2√7
(x-a)²+(y-b)²=b²
y=x
(x-a)²+(x-b)²=b²
x²-2ax+a²+x²-2bx+b²=b²
2x²-2(a+b)x+a²=0
4(a+b)²-4×2×a²=4(b²+2ab-a²)
x=y=[a+b±√(b²+2ab-a²)]/2
x1-x2=√(b²+2ab-a²),
(x1-x2)²=b²+2ab-a²
y1-y2=√(b²+2ab-a²)
(y1-y2)²=b²+2ab-a²
√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=2√7
√[2(b²+2ab-a²)]=2√7
2(b²+2ab-a²)=28
b²+2ab-a²-14=0......(2)
解方程组(1)(2)得
9a²+6a²-a²-14=0
14a²-14=0
a²=1
a=±1,b=3a=±3,r=|b|=3
则⊙O的方程:(x-a)²+(y-b)²=r²
即⊙O:(x±1)²+(y±3)²=9
答：
有两个圆的方程，它们是:(x±1)²+(y±3)²=9

Answer 2

本题应该充分利用图形的几何性质，数形结合来解这题。

因为圆心在直线3x-y=0
令圆心的横坐标是a，则纵标 y=3x=3a
所以，圆心是(a,3a)
又因圆与x轴相切，所以|3a|就是圆的半径
这样我们做 x-y=0所截弦过圆心的垂线，垂线长就是圆心到x-y=0的距离
=|a-3a|/√2=√2|a|
在垂线、半弦、和半径构的直角三角形中，根据勾股定理，有：
(3a)^2=(2√7/2)^2+(√2|a|)^2
解得a^1=1
所以 a=±1
那么圆心就是 (±1,±3) ，半径是 |3a|=3
这样圆的方程就是：
(x-1)^2+(y-3)^2=9或(x+1)^2+(y+3)^2=9

Answer 3

圆的方程(x-1)²+(y-3)²=9或(x+1)²+(y+3)²=9

Answer 4

这个圆不存在的