Question

已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F

已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F、P三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线的准线的距离为32．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点N（-4，0）作x轴的垂线l，S、T为l上的两点，满足OS⊥OT，过S及T分别作l的垂线与抛物线C分别相交于A与B，直线AB与x轴的交点为M，求证：M是定点，并求出该点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意得：点Q的横坐标为

p

4

，
则

p

4

?(?

p

2

)＝

3

2

，p＝2
所以抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）证明：设S(?4，y1)，T(?4，y2)，则

OS

＝(?4，y)，

OT

＝(?4，y2)，
所以

OS

?

OT

＝16+y1y2＝0，即y1y2＝?16
由题意A(

y12

4

，y1) ，B(

y22

4

，y2)，
当y₁+y₂=0时，y₁=-y₂，则y₁=4，y₂=-4，
A（4，4），B（4，-4），直线AB过定点（4，0），
当y1+y2≠0时，kAB＝

y1?y2

1 4 (y1+y2)(y1?y2)

＝

4

y1+y2

直线AB方程为y-y₁=

已赞过 已踩过<

你对这个回答的评价是？

评论 收起