Question

已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1

已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）m=2时，函数f（x）=）=2^|x-2|，故函数f（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（-∞，2）；
（2）f（x）=

2x?m，x≥m 2m?x，x＜m

，则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2^m-4 ，
g（x）在[4，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或8≥m≥6．
②当m＞8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，

m

2

]单调增，[

m

2

，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，g（4）=6m-24＞g（m）=2m-8，
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得m≥8
③0＜m＜4时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．
④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调减，在[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
综上，m的取值范围是[

7

2

，5]∪[6，+∞）．