二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析...
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
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（1）∵抛物线与x轴交点为A（-3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-1）．
将点C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x-1）=mx2+2mx-3m．
（2）当m=2时，C（0，-6），抛物线解析式为y=2x2+4x-6，则P（x，2x2+4x-6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
，解得
，
∴y=-2x-6．
如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，-2x-6）．
∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x2+4x-6）=-2x2-6x．
S=S△PFA+S△PFC=
PF?AE+
PF?OE=
PF?OA=
（-2x2-6x）×3
∴S=-3x2-9x=-3（x+
）2+
故S与x之间的关系式为S=-3x2-9x，当x=-
时，S有最大值为
．
（3）∵y=mx2+2mx-3m=m（x+1）2-4m，
∴顶点D坐标为（-1，-4m）．
如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2；
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF-OC=4m-3m=m．
由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9；
CD2=CF2+DF2=m2+1；
AD2=DE2+AE2=16m2+4．
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形．
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，
整理得：m2=-
，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，
整理得：m2=
，
∵m＞0，∴m=
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-1）．
将点C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x-1）=mx2+2mx-3m．
（2）当m=2时，C（0，-6），抛物线解析式为y=2x2+4x-6，则P（x，2x2+4x-6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
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∴y=-2x-6．
如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，-2x-6）．
∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x2+4x-6）=-2x2-6x．
S=S△PFA+S△PFC=
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∴S=-3x2-9x=-3（x+
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故S与x之间的关系式为S=-3x2-9x，当x=-
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（3）∵y=mx2+2mx-3m=m（x+1）2-4m，
∴顶点D坐标为（-1，-4m）．
如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2；
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF-OC=4m-3m=m．
由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9；
CD2=CF2+DF2=m2+1；
AD2=DE2+AE2=16m2+4．
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形．
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，
整理得：m2=-
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∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，
整理得：m2=
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∵m＞0，∴m=
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