已知函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)若a>2,讨论函数f(x)的单调性;(2)已知a=1,g(x)
已知函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)若a>2,讨论函数f(x)的单调性;(2)已知a=1,g(x)=2f(x)+x3,若数列{an}的前n项...
已知函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)若a>2,讨论函数f(x)的单调性;(2)已知a=1,g(x)=2f(x)+x3,若数列{an}的前n项和为Sn=g(n),证明:1a2+1a3+…+1an<13(n≥2,n∈N+).
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(1)函数f(x)=
x2-ax+(a-1)lnx,a>1.
根据对数函数的性质,可得x>0,
∴f′(x)=x-a+
=
,
∵a>2,∴a-1>1,
则f(x)在(1,a-1)上f′(x)<0,f(x)为减函数;
f(x)在(0,1),(a-1,+∞)上f′(x)>0,f(x)为增函数;
(2)已知a=1,可得f(x)=
x2-x,∵g(x)=2f(x)+x3=x3+x2-2x,
∵数列{an}的前n项和为Sn=g(n),
∴Sn=g(n)=n3+n2-2n,∵an=sn-sn-1,(n≥2)
∴an=n3+n2-2n-[(n-1)3+(n-1)2-2(n-1)]=3n2-n-2,
∴an=
,
∴an=3n2-n-2,
=
<
=
(
-
),
∴
+
+…+
<
[1-
+
-
+…+
-
]=
(1-
)<
1 |
2 |
根据对数函数的性质,可得x>0,
∴f′(x)=x-a+
a-1 |
x |
(x-1)[x-(a-1)] |
x |
∵a>2,∴a-1>1,
则f(x)在(1,a-1)上f′(x)<0,f(x)为减函数;
f(x)在(0,1),(a-1,+∞)上f′(x)>0,f(x)为增函数;
(2)已知a=1,可得f(x)=
1 |
2 |
∵数列{an}的前n项和为Sn=g(n),
∴Sn=g(n)=n3+n2-2n,∵an=sn-sn-1,(n≥2)
∴an=n3+n2-2n-[(n-1)3+(n-1)2-2(n-1)]=3n2-n-2,
∴an=
|
∴an=3n2-n-2,
1 |
an |
1 |
(3n+2)(n-1) |
1 |
3n(n-1) |
1 |
3 |
1 |
n-1 |
1 |
n |
∴
1 |
a2 |
1 |
a3 |
1 |
an |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n-1 |
1 |
n |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
3 |
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