Question

已知函数f（x）=x-a/x-2-（a+1）lnx（a＜1） （I）讨论函数f（x）的单调性 （II

Answer 1

（1）定义域为
x>0
f'(x)=
1+a/x^2
-
(a+1)/x=
(1/x^2)(x^2-(a+1)x+a)=(x-1)(x-a)/x^2
f'(x)=0
→
x=1,
x=a
∵a<1
∴
x>1时
f‘(x)>0,
f(x)增

0<a<x<1时
f‘(x)<0,
f(x)减

0<x<a时，
f‘(x)>0,
f(x)增
（2）x+y-3=0
斜率为-1，切线与之垂直，说明切线斜率为1，(斜率之积为-1)

在(2,
f(2))处切线斜率为
f'(2)=(2-a)/4=1
a=-2
∴f(x)=x+2/x-2+lnx
∵f(x)
在x>1时为增，在0<<x<1时为减
所以在x=1处取得最小值
即f(x)>=f(1)=1
∴e^(x-1)f(x)>=e^(x-1)
下面证明e^(x-1)>=x即可
令
g(x)=e^(x-1)-x
g‘(x)=x-1-1=0→x=2
∴g(x)在x=2处取得最小值
即g(x)>=g(2)=e-2>0（e≈2.718)
所以
g(x)>0恒成立
所以e^(x-1)>x恒成立
所以e^(x-1)f(x)>x恒成立
得证