Question

已知函数f（x）=1/2x²-ax²+（a-1）lnx，a＞1. (1)讨论函数f（x）的单调性 （2）求证a＜5，则对

已知函数f（x）=1/2x²-ax²+（a-1）lnx，a＞1.
(1)讨论函数f（x）的单调性
（2）求证a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有[f（x1)—f（x）]/（x1—x2）＞-1
已知函数f（x）=1/2x²-ax+（a-1）lnx，a＞1.
(1)讨论函数f（x）的单调性
（2）求证a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有[f（x1)—f（x）]/（x1—x2）＞-1

Answer 1

解：1）
f（x）=1/2x²-ax+（a-1）lnx，a＞1,x>0
求导
f'(x)=x-a+(a-1)/x=[x-(a-1)](x-1)/x
I）当1<a<2,x∈(0,a-1)，f'(x)>0,f(x)单调递增
x∈(a-1,1)，f'(x)<0,f(x)单调递减
x∈(1,+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增
II）当a=2，f'(x)=(x-1)^2/x>=0,且f'(x)不恒为0，f(x)在x∈(0,+∞)，单调递增
III）当a>2,时
x∈(0,1)，f'(x)>0,f(x)单调递增
x∈(1,a-1)，f'(x)<0,f(x)单调递减
x∈(a-1,+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增
2）我们简单采用拉格朗日中值定理证明+均值不等式:
此定理是这样的
【若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点c使[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(c) 成立，其中a<c<b】

证明：显然f(x)在x∈(0，+∞)上满足拉格朗日中值定理条件于是要证
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>-1
只需证f'(c)>-1,其中0<x1<c<x2,
因为f'(x)=x-a+(a-1)/x,(x>0)
即f'(c)=c+[(a-1)/c]-a>=2[c*(a-1)/c]^0.5-a=2*(a-1)^0.5-a,(1<a<5)，当仅当c=(a-1)/c取等号。
记h(a)=2*(a-1)^0.5-a,(1<a<5)
h'(a)=1/(a-1)^2-1=[1-(a-1)^0.5]/[(a-1)^0.5]
当a∈(1,2),h'(a)>0,h(a)单调递增
a∈(2,5),h'(a)<0,h(a)单调递减
可得极大值h(a)=h(2)=0,且此极大值必为其最大值
又h(5)=-1=h(1)为h(a)的最小值
得到-1<h(a)<=0。
（注意到等号是不能够取到的。）
因此有f'(c)>-1，亦即[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>-1因此命题得证。