已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（Ⅰ）讨论函数f′（x）＞0的单调性；（Ⅱ）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[
已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（Ⅰ）讨论函数f′（x）＞0的单调性；（Ⅱ）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m...
已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（Ⅰ）讨论函数f′（x）＞0的单调性；（Ⅱ）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．
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（Ⅰ）f′（x）=2ax+
=
（x＞0），
①当a≥0时，恒有f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，当0＜x＜
时，f'（x）＞0，则f（x）在(0，
)上是增函数；
当x＞
时，f'（x）＜0，则f（x）在(
，+∞)上是减函数；
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在(0，
)上是增函数，在(
，+∞)上是减函数．
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，
等价于ma-a2＞f（x）max，
因为a∈（-4，-2），所以
| 1 |
| x |
| 2ax2+1 |
| x |
①当a≥0时，恒有f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，当0＜x＜
?
|
?
|
当x＞
?
|
?
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综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在(0，
?
|
?
|
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，
等价于ma-a2＞f（x）max，
因为a∈（-4，-2），所以
