Question

如图，已知⊙O的半径OA= 5 ，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相

如图，已知⊙O的半径OA= 5 ，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．（1）求cosA的值；（2）设AC=x，OE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D， ∵AB是⊙O的弦，∴AD= 1 2 AB=2，（1分） ∴cosA= AD OA = 2 5 = 2 5 5 ．（1分） （2）过点C作CF⊥OE，垂足为F， ∵OE是⊙C的弦，OF= 1 2 OE= y 2 ， 在Rt△ACF中，AF=AC?cosA= 2 5 5 x，（1分） ∵AF+OF=OA，∴ 2 5 5 x+ y 2 = 5 ．（1分） ∴函数解析式为y=2 5 - 4 5 5 x．（1分） 函数定义域为 5 4 ≤x＜ 5 2 ．（1分） （3）⊙C可能与⊙O相切． 在Rt△AOD中，OD= A O 2 -A D 2 = 5-4 =1． 当⊙C与⊙O相切时，OC= 1 2 OA= 5 2 ，（1分） ∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD 2 +CD 2 =OC 2 ， ∴1 2 +（2-x） 2 = 5 4 ．（1分） ∴x 1 = 3 2 ， x 2 = 5 2 ．（1分） 当x= 5 2 时，⊙C与OA相切于点O，不符合题意． ∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为 3 2 ．（1分）