Question

设（a1a2a3）是R3的一组标准正交基 证明：B1=1/3（2a1+2a2-a3）B2=1/3

2a1-a2+2a3）B3=1/3（a1-2a2-2a3）也是R3的一组标准正交基

Answer 1

第一、基

如果x1B1+x2B2+x3B3=0

则x1(2a1+2a2-a3)+x2(2a1-a2+2a3)+x3(a1-2a2-2a3)=0

即(2x1+2x2+x3)a1+(2x1-x2-2x3)a2+(-x1+2x2-2x3)a3=0

由于{a1,a2,a3}是基，则

2x1+2x2+x3=0

2x1-x2-2x3=0

-x1-2x2-2x3=0

解得x1=x2=x3=0

所以B1,B2,B3线性无关,所以是基。

第二，正交

==4/9-2/9-2/9=0

类似的

=0 (i不等于j)

第三，标准

==4/9+4/9+1/9=1

类似的

==1

以上三条说明{B1,B2,B3}是一组标准正交基。

注：表示g和h的内积。

因为{a1,a2,a3}是标准正交基 所以 =0 (i≠j) =1。

扩展资料：

在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基（Orthonormal basis）。

无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。

因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。

注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个巴拿赫空间有正交基，当且仅当它是一个希尔伯特空间。

参考资料来源：百度百科-标准正交基

Answer 2

参见链接：http://zhidao.baidu.com/question/752997362637912284