Question

计算?Ω(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的有界闭区域

计算?Ω(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的有界闭区域．

Answer 1

结果为：16π/3

解题过程如下（因有专有公式，故只能截图）：

扩展资料

求有界闭区域的方法：

设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)。

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面 （但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）。

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使　MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量}　或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}。

若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

Answer 2

由题意，Ω＝{(x，y，z)|

1

2

(x2+y2)≤z≤2，(x，y)∈Dxy}，其中Dxy＝{(x，y)|x2+y2≤4}
∴Ω＝{(r，θ，z)|0≤θ≤2π，0≤r≤2，

1

2

r2≤z≤2}
∴

?

Ω

(x2+y2)dxdydz=

∫

2π 0

dθ

∫

2 0

rdr

∫

2 1 2 r2

r2dz
=2π

∫

2 0

r3(2?

1

2

r2)dr=

16π

3

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

解答过程如下：
用柱面极坐标来计算。
令x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdrdθ, z从r²/2到2积分，r从0到2，θ从0到2π。
所以，原积分=∫(0->2π)dθ ∫(0->2) dr ∫(r²/2->2) r² rdrdθ=128π/9。

柱面坐标系的定义：
设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,θ，则这样的三个数r, θ,z就叫点M的柱面坐标。
规定： 0≤θ≤2π
0≤r≤+∞
-∞<z<+∞
注意：柱面坐标系就是平面极坐标系加上z轴。

柱面坐标系的三坐标面是：
r为常数时——>圆柱面；
θ为常数时——>半平面；
z为常数时——>平面。
柱面坐标与直角坐标的关系为：
x=rcosθ;
y=rsinθ;
z=z。