Question

（2014?长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC以每

（2014?长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD-DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

Answer 1

解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴

DP

DQ

＝

PN

QB

．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3-t，QB=AB=4，
∴

3?t

3

＝

t

4

．
∴t=

12

7

．
∴当t=

12

7

时，点N落在BD上．

（2）①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4-t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=4-t．
∴t=2．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴DB=5．
∵点O是DB的中点，
∴DO=

5

2

．
∴1×t=AD+DO=3+

5

2

．
∴t=

11

2

．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜

11

2

．

（3）①当0＜t≤

12

7

时，如图4．
S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．
②当

12

7

＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB=

PG

DP

=

AB

AD

，
∴

PG

3?t

=

4

3

．
∴PG=4-

4

3

t．
∴GN=PN-PG=t-（4-

4

3

t）=

7t

3

-4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB=

4

3

，
∴

GN

NF

＝

4

3

．
∴NF=

3

4

GN=

3

4

（

7t

3

-4）=

7

4

t-3．
∴S=S_{正方形PQMN}-S