设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1和x2
设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（...
设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）证明：nk?2lnk?1k+1＞2?n?n22n(n+1)（n∈N*，n≥2）．
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（1）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=
≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）由f（x）有两个极值点x1和x2，知，a＞2．
∵f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+
-a（lnx1-lnx2），
∴k=
=1+
-a?
，
又x1x2=1．于是k=2-a?
，
若存在a，使得k=2-a，则
=1，即lnx1-lnx2=x1-x2，
亦即x2?
?2lnx2=0（*）
再由（1）知，函数h（t）=t-
-2lnt在（0，+∞）上单调递增，
而x2＞1，
∴x2?
?2lnx2＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．
（3）∵
ln
=ln
，
∴
ln
f′（x）=
| x2?2x+1 |
| x2 |
（2）由f（x）有两个极值点x1和x2，知，a＞2．
∵f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+
| x1?x2 |
| x1x2 |
∴k=
| f(x1)?f(x2) |
| x1?x2 |
| 1 |
| x1x2 |
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
又x1x2=1．于是k=2-a?
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
若存在a，使得k=2-a，则
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
亦即x2?
| 1 |
| x2 |
再由（1）知，函数h（t）=t-
| 1 |
| t |
而x2＞1，
∴x2?
| 1 |
| x2 |
故不存在a，使得k=2-a．
（3）∵
| n |
 |
| k?2 |
| k?1 |
| k+1 |
| 2 |
| n(n+1) |
∴
| n |
|
| k?2 |
| k?1 |
k+
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