设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xex,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立,则正数k
设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xex,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立,则正数k的取值范围是______....
设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xex,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立,则正数k的取值范围是______.
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∵当x>0时,f(x)=
=e2x+
≥2
=2e
∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x1)有最小值2e
∵g(x)=
∴g′(x)=
=
当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增
当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减
∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e
则有x1、x2∈(0,+∞),f(x1)min=2e>g(x2)max=e
∵
≤
恒成立且k>0,
∴
≤
∴k≥1
故答案为k≥1
e2x2+1 |
x |
1 |
x |
e2x?
|
∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x1)有最小值2e
∵g(x)=
e2x |
ex |
∴g′(x)=
e2?(ex?xex) |
e2x |
e2(1?x) |
ex |
当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增
当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减
∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e
则有x1、x2∈(0,+∞),f(x1)min=2e>g(x2)max=e
∵
g(x1) |
k |
f(x2) |
k+1 |
∴
e |
k |
2e |
k+1 |
∴k≥1
故答案为k≥1
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