Question

已知△ABC的三个内角A、B、C满足sinC= 3 （1-cosC）=2sin2A+sin（A-B）．求A的大小

已知△ABC的三个内角A、B、C满足sinC= 3 （1-cosC）=2sin2A+sin（A-B）．求A的大小．

Answer 1

由sinC= 3 （1-cosC），得sinC+ 3 cosC= 3 ，即2sin（C+ π 3 ）= 3 ∴sin（C+ π 3 ）= 3 2 ，∵ π 3 ＜C+ π 3 ＜ 4π 3 ，∴C+ π 3 = 2π 3 ，C= π 3  ①． 又sinC=2sin2A+sin（A-B），而sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B） ∴得出sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosA+sinAcosB-cosAsinB  移向化简整理得出cosA（sinB-2sinA）=0 ∴cosA=0，或sinB-2sinA=0 若 cosA=0，则A= π 2 ， 若 sinB-2sinA=0则结合①即有sin（ 2π 3 -A）-2sinA=0， 展开化简整理 3 2 cosA- 3 2 sinA=0，∴tanA= 3 3 ，∴A= π 6 综上A= π 2 ，或A= π 6 ．