Question

设 f(x)= 2 x 2 x+1 ，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；（2）

设 f(x)= 2 x 2 x+1 ，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；（2）若对于任意x 1 ∈[0，1]，总存在x 0 ∈[0，1]，使得g（x 0 ）=f（x 1 ）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）法一：（导数法） f′(x)= 4x(x+1)-2 x 2 (x+1) 2 = 2 x 2 +4x   (x+1) 2   ≥0 在x∈[0，1]上恒成立． ∴f（x）在[0，1]上增， ∴f（x）值域[0，1]． 法二： f(x)= 0          x=0 2 1 x + 1 x 2 x∈(0，1] ，用复合函数求值域． 法三： f(x)= 2 x 2 x+1 =2(x+1)+ 2 x+1 -4 用双勾函数求值域． （2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]． 由条件，只须[0，1]?[5-2a，5-a]． ∴ 5-2a≤0 5-a≥1 ? 5 2 ≤a≤4 ．