Question

（2014?玉林）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段M

（2014?玉林）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，
在△ABM和△BCP中，

AB＝BC ∠ABC＝∠C CP＝BM

，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；

（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴

AB

MC

=

AM

MQ

，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴

AB

BM

=

AM

MQ

，
∴

AB

MC

=

AB

BM

，
∴BM=MC．

Answer 2

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
分析： （1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠B AM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根 据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，从而得到 = ，即可得解．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（ 2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴ = ，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴ = ，
∴ = ，
∴BM=MC．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．
莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/cusan/138296.htm

Answer 3

噢。就看看看看