Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（xy）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（xy）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（13）＜2．

Answer 1

（1）令x=y＞0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)?f(x1)＝f(

x2

x1

)，
因为x₂＞x₁＞0，所以

x2

x1

＞1?f(

x2

x1

)＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）因为f（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由f(x+3)?f(

1

3

)＜2，得f（3x+9）＜f（36），
所以

x+3＞0 3x+9＜36

?-3＜x＜9
所以原不等式的解为（-3，9）．

Answer 2

解答:解:(1)∵当x＞0，y＞0时，f(
x
y
)=f(x)-f(y)，
∴令x=y＞0，则f(1)=f(x)-f(x)=0，
∴f(1)=0;
(2)f(x)在(0，+∞)上是递增函数.
证明:设x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2，
∵f(
x
y
)=f(x)-f(y)，
∴f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)，
∵x2＞x1＞0，
∴
x2
x1
＞1，
∵当x＞1时，有f(x)＞0，
∴f(
x2
x1
)＞0.
∴f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数;
(3)由(2)可知，f(x)在[1，16]上是增函数，
∴f (x)min=f(1)=0，f(x)max=f(16)，
∵f(4)=2，且f(
x
y
)=f(x)-f(y)，
∴f(
16
4
)=f(16)-f(4)，
∵f(4)=2，
∴f(16)=2f(4)=4，
∴f (x)min=0，f(x)max=4，
∴f(x)在[1，16]上的值域为[0，4].