如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交边AB
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交边AB于点E,射线MF交边CD于点F,连接E...
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交边AB于点E,射线MF交边CD于点F,连接EF.(1)指出图中所有与△BEM相似的三角形,并加以证明;(2)设BE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(3)如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长.
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(1)△CMF∽△BEM,△MEF∽△BEM,
证明如下:
在梯形ABCD中,
∵AD∥BC,AB=CD,∴∠B=∠C,
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM,∠EMF=∠B,
∴∠FMC=∠BEM,
∴△CMF∽△BEM,
∴
=
,
又∵CM=BM,
∵∠EMF=∠B,∴△MEF∽△BEM,
(2)∵△CMF∽△BEM,∴
=
,
∵BM=CM=2,∴
=
,
∴所求函数的解析式为y=
,定义域为1≤x≤4,
(3)(i)当BM=BE=2时,
由△BEM∽△CMF,得CF=MC=2,
而AB=CD=4,∴AE=BE=CF=DF=2,
∴EF为梯形的中位线,
∴EF=
×(2+4)=3,
(ii)当BM=EM=2时,作EG⊥BC,垂足为G,
设BE=x,由题意,得BG=
,GM=2?
,
∵BE2-BG2=EM2-GM2,
即x2?
=4?(2?
)2,
∴x=1或x=0(不符合题意,舍去),
∴BE=1,
由△BEM∽△MEF,得
=
,即
=
,
∴EF=4,
综上所述,△BEM是以BM为腰的等腰三角形时,EF的长为3或4.
证明如下:
在梯形ABCD中,
∵AD∥BC,AB=CD,∴∠B=∠C,
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM,∠EMF=∠B,
∴∠FMC=∠BEM,
∴△CMF∽△BEM,
∴
EM |
FM |
BE |
CM |
又∵CM=BM,
∵∠EMF=∠B,∴△MEF∽△BEM,
(2)∵△CMF∽△BEM,∴
BE |
BM |
CM |
CF |
∵BM=CM=2,∴
x |
2 |
2 |
y |
∴所求函数的解析式为y=
4 |
x |
(3)(i)当BM=BE=2时,
由△BEM∽△CMF,得CF=MC=2,
而AB=CD=4,∴AE=BE=CF=DF=2,
∴EF为梯形的中位线,
∴EF=
1 |
2 |
(ii)当BM=EM=2时,作EG⊥BC,垂足为G,
设BE=x,由题意,得BG=
x |
4 |
x |
4 |
∵BE2-BG2=EM2-GM2,
即x2?
x2 |
16 |
x |
4 |
∴x=1或x=0(不符合题意,舍去),
∴BE=1,
由△BEM∽△MEF,得
EF |
EM |
EM |
BE |
EF |
2 |
2 |
1 |
∴EF=4,
综上所述,△BEM是以BM为腰的等腰三角形时,EF的长为3或4.
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