Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=______

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=______．

Answer 1

设AP=x，PD=4-x，由勾股定理，得AC=BD= 3 2 + 4 2 =5， ∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°， ∴Rt△AEP ∽ Rt△ADC； ∴ AP AC = PE DC ， 即 x 5 = PE 3 ---（1）． 同理可得Rt△DFP ∽ Rt△DAB， ∴ 4-x 5 = PF 3 ---（2）． 故（1）+（2）得 4 5 = PE+PF 3 ， ∴PE+PF= 12 5 ． 另 ∵四边形ABCD为矩形， ∴△OAD为等腰三角形， ∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高， ∴PE+PF= 3×4 5 = 12 5 ．