Question

一条宽度为L的河，水流速度为 ，已知船在静水中速度为 ，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若

一条宽度为L的河，水流速度为 ，已知船在静水中速度为 ，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若 ，怎样渡河位移最小？（3）若 ，怎样渡河船漂下的距离最短？

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Answer 1

（1）船头与河岸垂直， （2）船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ， （3）船头与河岸的夹角应为

：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为 ，渡河所需要的时间为 ，可以看出：L、v 船 一定时，t随sinθ增大而减小；当 时， （最大）。所以，船头与河岸垂直 。   图4 （2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有 ，即 。   图5 因为 ，所以只有在 时，船才有可能垂直河岸渡河。 （3）若 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？ 如图6所示，设船头v 船 与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水 的矢尖为圆心，v 船 为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据   图6 船头与河岸的夹角应为 ，船沿河漂下的最短距离为： 此时渡河的最短位移：