已知正项数列{an}满足a1＝1，a2n+1?a2n?2an+1?2an＝0(n∈N*)．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若
已知正项数列{an}满足a1＝1，a2n+1?a2n?2an+1?2an＝0(n∈N*)．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若Cn+1-Cn=an+1，且C1=1...
已知正项数列{an}满足a1＝1，a2n+1?a2n?2an+1?2an＝0(n∈N*)．（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若Cn+1-Cn=an+1，且C1=1，求{Cn}的通项公式；（Ⅲ）设bn＝an+12n，Tn＝b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
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（I）证明：由已知可得：（an+1+an）（an+1-an）-2（an+1+an）=0
∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵an＞0
∴an+1+an＞0
∴an+1-an=2
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列（4分）
（II）解：由（I）知an=1+2（n-1）=2n-1
∴Cn+1-Cn=2n+1
当n≥2时，Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=
＝n2
当n=1时，C1＝1＝12适合上式
∴Cn＝n2（8分）
（III）解：∵bn＝
=
∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn=
+
+…+
+
①
Tn=
+
+…+
+
②
①-②可得，
Tn=
+
+…+
?
=
+2×
∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵an＞0
∴an+1+an＞0
∴an+1-an=2
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列（4分）
（II）解：由（I）知an=1+2（n-1）=2n-1
∴Cn+1-Cn=2n+1
当n≥2时，Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=
| n(1+2n?1) |
| 2 |
当n=1时，C1＝1＝12适合上式
∴Cn＝n2（8分）
（III）解：∵bn＝
| an+1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n |
∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 22 |
| 2n?1 |
| 2n?1 |
| 2n+1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n?1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
①-②可得，
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
=
| 3 |
| 2 |
| ||||
1
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