Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）求A1C与平面AB1D1所成

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）求A1C与平面AB1D1所成的角．

Answer 1

（1）连结A₁C₁交B₁D₁于O₁，连结AO₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁

∥

.

CC₁，
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∵O、O₁分别为AC、A₁C₁的中点
∴AO

∥

.

C₁O₁，可得四边形AOC₁O₁是平行四边形，得C₁O∥AO₁
∵C₁O?面AB₁D₁，AO₁?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁是斜线A₁C在平面A₁B₁C₁D₁内的射影
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C⊥B₁D₁，同理可得A₁C⊥AB₁
∵B₁D₁、AB₁是平面AB₁D₁内的相交直线，∴A₁C⊥平面AB₁D₁
由此可得A₁C与平面AB₁D₁所成的角是90°．