（2014?宝安区二模）如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交
（2014?宝安区二模）如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与B、C都不重合），E是射线F...
（2014?宝安区二模）如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y．（1）求出tan∠PBF；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积．
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（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=4，∠C=90°
∴tan∠CBD＝
＝
，
又∵∠PBF=∠CBD∠BPF=90°
∴tan∠PBF＝
＝tan∠CBD＝
；
（2）∵∠EPF=∠FBP 即∠EPF=∠EBP
又∵∠PEF=∠BEP
∴△PEF∽△BEP
∴
＝
＝
＝
∴EP=2EF，BE=2PE 即 BE=4EF，
如图1，作EH⊥BD于H，则∠FPB=∠EHB=90°
又∵∠PBF=∠HBE
∴△PBF∽△HBE
∴
＝
＝
，
设BP=x，则PF＝
x
∴HE＝
PF＝
×
x＝
x
又∵CD=2，BC=4∠C=90°由勾股定理得BD＝2
，
∴y＝
PD?EH＝
(2
?x)?
x＝?
x2+
x
（0＜x＜
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=4，∠C=90°
∴tan∠CBD＝
| CD |
| BC |
| 1 |
| 2 |
又∵∠PBF=∠CBD∠BPF=90°
∴tan∠PBF＝
| PF |
| BP |
| 1 |
| 2 |
（2）∵∠EPF=∠FBP 即∠EPF=∠EBP
又∵∠PEF=∠BEP
∴△PEF∽△BEP
∴
| PE |
| BE |
| EF |
| EP |
| PF |
| BP |
| 1 |
| 2 |
∴EP=2EF，BE=2PE 即 BE=4EF，
如图1，作EH⊥BD于H，则∠FPB=∠EHB=90°又∵∠PBF=∠HBE
∴△PBF∽△HBE
∴
| HE |
| PF |
| BE |
| BF |
| 4 |
| 3 |
设BP=x，则PF＝
| 1 |
| 2 |
∴HE＝
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
又∵CD=2，BC=4∠C=90°由勾股定理得BD＝2
| 5 |
∴y＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（0＜x＜
8
|
