Question

已知直线l与抛物线y2=8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F；（1）若已知A点的坐标为（8，8），求线段AB

已知直线l与抛物线y2=8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F；（1）若已知A点的坐标为（8，8），求线段AB中点到准线的距离．（2）求△ABO面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

解答：解：（1）依题意得F（2，0），∴直线AB方程为

y?0

8?0

＝

x?2

8?2

，化简得y＝

4

3

(x?2)，
代入y²=8x得2x²-17x+8=0，∴线段AB中点横坐标为

x1+x2

2

＝

17 2

2

＝

17

4

，
又准线方程为x=-2，∴中点到准线距离d＝

17

4

?(?2)＝

25

4

；
（2）设AB的方程为x=my+2，代入y²=8x，可得y²-8my-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

64m2+64

，∴m=0时，|y₁-y₂|最小为8，
∵SABO＝

1

2

?2|y₁-y₂|，∴m=0时，△ABO面积最小，此时AB⊥x轴，
∴面积最小为8，所求直线方程为：x=2．