Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx-4与x轴交于A（4，0）、B（-2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端

如图，抛物线y=ax 2 +bx-4与x轴交于A（4，0）、B（-2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD ∥ AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP 2 =BD?BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得 16a+4b-4=0 4a-2b-4=0 ， 解得 a= 1 2 b=-1 ， ∴抛物线的解析式为y= 1 2 x 2 -x-4； （2）设点P运动到点（x，0）时，有BP 2 =BD?BC， 令x=0时，则y=-4， ∴点C的坐标为（0，-4）． ∵PD ∥ AC， ∴△BPD ∽ △BAC， ∴ BD BC = BP BA ． ∵BC= BO 2 +OC 2 = 2 2 +4 2 =2 5 ， AB=6，BP=x-（-2）=x+2． ∴BD= BP×BC BA = 2 5 (x+2) 6 = 5 (x+2) 3 ． ∵BP 2 =BD?BC， ∴（x+2） 2 = 5 (x+2) 3 ×2 5 ， 解得x 1 = 4 3 ，x 2 =-2（-2不合题意，舍去）， ∴点P的坐标是（ 4 3 ，0），即当点P运动到（ 4 3 ，0）时，BP 2 =BD?BC； （3）∵△BPD ∽ △BAC， ∴ S △BPD S △BAC = ( BP AB ) 2 ， ∴ S △BPD = ( BP AB ) 2 ? S △BAC = ( x+2 6 ) 2 × 1 2 ×6×4= (x+2) 2 3 S △PDC =S △PBC -S △PBD = 1 2 ×（x+2）×4- (x+2) 2 3 =- 1 3 (x-1) 2 +3 ∵ - 1 3 ＜0 ， ∴当x=1时，S △PDC 有最大值为3． 即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．