已知函数f(x)=ex-ex(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)对于函数h(x)=12x2与g(x)=elnx,是否存在公
已知函数f(x)=ex-ex(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)对于函数h(x)=12x2与g(x)=elnx,是否存在公共切线y=kx+b(常数k,b)使得h(x)≥k...
已知函数f(x)=ex-ex(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)对于函数h(x)=12x2与g(x)=elnx,是否存在公共切线y=kx+b(常数k,b)使得h(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b在函数h(x),g(x)各自定义域上恒成立?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)由f′(x)=ex-e=0,∴x=1.∴f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.∴f(x)的最小值为0
(Ⅱ)设 F(x)=h(x)?g(x)=
x2?elnx(x>0),∴F′(x)=x?
=
=
∴当 0<x<
时,F′(x)<0,函数F(x)单调递减;当 x>
时,F′(x)>0,函数F(x)单调递增.
∴x=
是函数F(x)的极小值点,也是最小值点,∴F(x)min=F(
)=
e,∴函数f(x)与h(x)的图象在 x=
处有
(Ⅱ)设 F(x)=h(x)?g(x)=
1 |
2 |
e |
x |
x2?e |
x |
(x+
| ||||
x |
∴当 0<x<
e |
e |
∴x=
e |
e |
1 |
2 |
e |
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