Question

已知函数f（x）=ex-ex（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对于函数h（x）=12x2与g（x）=elnx，是否存在公

已知函数f（x）=ex-ex（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对于函数h（x）=12x2与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由f′（x）=e^x-e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴f（x）的最小值为0

（Ⅱ）设 F(x)＝h(x)?g(x)＝

1

2

x2?elnx(x＞0)，∴F′(x)＝x?

e

x

＝

x2?e

x

＝

(x+ e )(x? e )

x

∴当 0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当 x＞

e

时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴x＝

e

是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，∴F(x)min＝F(

e

)＝

1

2

e，∴函数f（x）与h（x）的图象在 x＝

e

处有