Question

如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．求证：（1）AB∥CD； （2）∠2+∠3=90

如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．求证：（1）AB∥CD； （2）∠2+∠3=90°．

Answer 1

证明：（1）∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1（ 角平分线的性质）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠BDC=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性质）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．

（2）∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=180°-（∠1+∠2）=90°，
∴∠BED=∠EDF+∠3=90°，
∵∠2=∠EDF，
∴∠2+∠3=90°．