Question

离散数学中关于群的两道证明题

G为群,a,b,cG,ab=cba,ac=ca,bc=cb。证明：若a，b的阶分别为m，n，则c的阶整除m与n的最大公因子为（m，n）。

求解答。会不会因为分少就没人帮啊~~ 0。0

Answer 1

1. 只需证明若 c^r = 1那么 r | n 且 r | m

   由条件知道：c = aba^-1b^-1

   所以 c^n = a^nb^na^-nb^-n = 1 (注意这里的关键是：将b与a互换时会产生一个c^-1，而这与b^-1和a^-1互换产生的c抵消)

   同理 c^m = 1. 证毕。

2. 充分性：若HK = KH，那么取k^-1*h^-1 = h'k' 为hk的逆，然后证明乘法封闭性即可（这很显然）

   必要性：只需证明hk=k'h'对任意hk成立，由于HK构成群所以存在 h''k''*hk = 1,即 hk = k''^-1h''^-1，取k' = k''^-1, h' = h''^-1即可证明。