Question

已知抛物线的方程为y 2 =4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线（1）只有一个公

已知抛物线的方程为y 2 =4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k．当k为何值时直线与抛物线（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点．

Answer 1

由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1， 代入抛物线方程整理可得k 2 x 2 +（4k 2 +2k-4）x+4k 2 +4k+1=0（*） （1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根 ①k=0时，y=1符合题意； ②k≠0时，△=（4k 2 +2k-4） 2 -4k 2 （4k 2 +4k+1）=0，整理，得2k 2 +k-1=0， 解得k= 1 2 或k=-1． 综上可得，k= 1 2 或k=-1或k=0； （2）由（1）得2k 2 +k-1＞0，∴k＞ 1 2 或k＜-1； （3）由（1）得2k 2 +k-1＜0，∴-1＜k＜ 1 2 ．