Question

已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x 2 －4x＋2，若对任意x 1 ∈(0，＋∞)

已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x 2 －4x＋2，若对任意x 1 ∈(0，＋∞)，均存在x 2 ∈[0,1]，使得f(x 1 )＜g(x 2 )，求a的取值范围．

Answer 1

(1) f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为    (2)

(1)f′(x)＝a＋ ＝  (x＞0)． ①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0， f′(x)＞0， 所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－ . 在区间 上，f′(x)＞0，在区间 上，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . (2)由题意得f(x) max ＜g(x) max ，而g(x) max ＝2， 由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意． 当a＜0时，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减， 故f(x)的极大值即为最大值，f ＝－1＋ln ＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－ . 故a的取值范围为 .