Question

如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半

如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．小题1:在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；小题2:在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；小题3:若四边形ABCD有两个半等角点P 1 、P 2 （如图（2）），证明线段P 1 P 2 上任一点也是它的半等角点．

Answer 1

小题1:所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．（2分） 小题2:画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）．（3分） 小题3:连P 1 A、P 1 D、P 1 B、P 1 C和P 2 D、P 2 B，根据题意， ∠AP 1 D=∠AP 1 B，∠DP 1 C=∠BP 1 C， ∴∠AP 1 B+∠BP 1 C=180度． ∴P 1 在AC上， 同理，P 2 也在AC上． 在△DP 1 P 2 和△BP 1 P 2 中， ∠DP 2 P 1 =∠BP 2 P 1 ，∠DP 1 P 2 =∠BP 1 P 2 ，P 1 P 2 公共， ∴△DP 1 P 2 ≌△BP 1 P 2 ． 所以DP 1 =BP 1 ，DP 2 =BP 2 ，于是B、D关于AC对称． 设P是P 1 P 2 上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC， 所以点P是四边形的半等角点．（5分）

（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点． （2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合） （3）先连P 1 A、P 1 D、P 1 B、P 1 C和P 2 D、P 2 B，根据题意∠AP 1 D=∠AP 1 B，∠DP 1 C=∠BP 1 C∴∠AP 1 B+∠BP 1 C=180度．∴P 1 在AC上，同理，P 2 也在AC上，再利用ASA证明△DP 1 P 2 ≌△BP 1 P 2 而，那么△P 1 DP 2 和△P 1 BP 2 关于P 1 P 2 对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点