Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，点P是四边形外一点，PA＝PD,PB＝PC,求证：四边形ABCD是矩形

Answer 1

证明∵AB∥DC、∠ABC＝90°，

∴∠DCB＝90°。（同旁内角互补）
∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA。
∵AB∥DC，∴∠BAD＝180°－∠CDA，
∴∠PAD＋∠BAD＝180°＋∠PDA－∠CDA，
∴∠PAB＝180°＋∠PDA－∠CDA。
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，又∠ABC＝∠DCA＝90°，
∴∠PBA＝∠PCD。
∵PA＝PD、∠PBA＝∠PCD，
∴△PAB、△PDC的外接圆是等圆，又PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PDC，或∠PAB＝180°－∠PDC。
1、当∠PAB＝∠PDC时，
　　∵∠PAB＝180°＋∠PDA－∠CDA，∴∠PDC＝180°＋∠PDA－∠CDA，
　　∴∠PDA＋∠CDA＝180°＋∠PDA－∠CDA，∴2∠CDA＝180°，∴∠CDA＝90°。
　　由∠ABC＝∠DCB＝∠CDA＝90°，得：ABCD是矩形。
2、当∠PAB＝180°－∠PDC时，
　　∵∠PAB＝180°＋∠PDA－∠CDA，∴180°－∠PDC＝180°＋∠PDA－∠CDA，
　　∴－∠PDC＝∠PDA－∠CDA，∴－（∠PDA＋∠CDA）＝∠PDA－∠CDA，
　　∴－∠PDA＝∠PDA，∴∠PDA＝0°。这显然是不合理的，∴这种情况应舍去。
综上1、2所述，得：ABCD是矩形。

Answer 2

反向延长PC，交BA延长线与E，根据平行，可知∠pcd=∠pea，∠dcb=90°，pb=pc,则∠pbc=∠pcb，所以∠peb=∠pcd=∠pbe，所以pe=pb，△dpc≌△fpe（
），则∠pfe=∠pde，pf=pd=pa，则∠pab=∠pfe=∠pde（π减等腰三角形底角），因为∠pad=∠pda，所以∠bad=∠cda，因为ab∥cd，所以∠bad=∠adc=90°，所以四边形abcd为矩形（四个角是直角的四边形是矩形）