Question

如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半

如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．

Answer 1

（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．
（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）

（3）连P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根据题意，
∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C，
∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．
∴P₁在AC上，
同理，P₂也在AC上．（9分）
在△DP₁P₂和△BP₁P₂中，

∠DP2P1＝∠BP2P1 P1P2＝P1P2 ∠DP1P2＝∠BP1P2

，
∴△DP₁P₂≌△BP₁P₂（ASA）
所以DP₁=BP₁，DP₂=BP₂，于是B、D关于AC对称．
设P是P₁P₂上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．（14分）

Answer 2

1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．

（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，
∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，
∴∠AP1B+∠BP1C=180度．
∴P1在AC上，
同理，P2也在AC上．（9分）
在△DP1P2和△BP1P2中，
∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，
∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．
设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．（14分）