Question

已知函数f（x）=e x （ax+b）-x 2 -4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4（Ⅰ）求a，b的

已知函数f（x）=e x （ax+b）-x 2 -4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e x （ax+b）-x 2 -4x， ∴f′（x）=e x （ax+a+b）-2x-4， ∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4 ∴f（0）=4，f′（0）=4 ∴b=4，a+b=8 ∴a=4，b=4； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x （x+1）-x 2 -4x，f′（x）=4e x （x+2）-2x-4=4（x+2）（e x - 1 2 ）， 令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2 ∴x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（-2，-ln2）时，f′（x）＜0 ∴f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-ln2，+∞），单调减区间是（-2，-ln2） 当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e -2 ）．