Question

已知函数f(X)=e的x次方（ax+b)-x²-4x,曲线y=f（x)在点（0，f(0））处的切线方程为y=4x+4

(1)求a,b的值
（2)讨论f（x)的单调性，并求f（x)的极大值

Answer 1

解：f(x)=e^x (ax+b)-x^2-4x，f(0)=b
对f(x)求导得：f'(x)=e^x (ax+a+b)-2x-4
(1) 由点(0,f(0))处切线为y=4x+4，可知：
f(0)=4*0+4=4，即 b=4....①

f'(0)=a+b-4=4....②
联立①②得：a=4，b=4

(2) 由(1)知，f(x)=e^x (4x+4)-x^2-4x
f'(x)=e^x (4x+8)-2x-4=2(x+2)(4e^x-2)
令f'(x)>0
解得：x<-2 或 x>-ln 2
因此，f(x)在区间(-∞,-2)和(-ln 2,+∞)上为增函数，在(-2,-ln 2)上为减函数。

如有疑问，请追问。

追问

对f(x)求导得：f'(x)=e^x (ax+a+b)-2x-4
中e^x (ax+a+b)不明

追答

用求导的乘法法则：
[e^x (ax+b)]'=(e^x)'*(ax+b)+e^x*(ax+b)'
=e^x (ax+b)+e^x*a

=e^x(ax+b+a)

追问

那个极大值怎么求？？

追答

函数图像在极大值点左边单调递增，右边递减。
因为在(-∞,-2)上增，在(-2,-ln 2)上减，所以x=-2处取得极大值，

因此，极大值为f(-2)=e^(-2)*[4*(-2)+4]-(-2)^2-4*(-2)=4(1-e^(-2))

Answer 2