Question

已知函数f(x)=e^(ax-b)-x^2-4x，曲线y=f(x)在点（0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a,b的值。
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。

Answer 1

(1) 

f(0) = e^(-b)

切线上, x = 0, y = 4, e^(-b) = 4, b = -2ln2

f'(x) = ae^(ax - b) - 2x - 4 

f'(0) = ae^(-b) - 4 = 4 (切线斜率)

4a - 4 = 4

a = 2

(2)

f(x) = e^(2x + 2ln2) - x^2 - 4x = 4e^(2x) - x^2 - 4x

f'(x) = 8e^(2x) - 2x - 4 = 0

没有容易解法。但容易看出，x ->负无穷时，e^(2x) -> 0, f(x)行为与-x^2 - 4x类似, 为增函数；

x -> 正无穷时，e^(2x) -> 0, f(x)行为与e^(2x)类似, 为增函数；

作图:

极大值约为f(-1.93) = 4.01

极小值约为f(-0.49) = 3.20