Question

已知函数f（x）=e x （ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．（1）求常数a

已知函数f（x）=e x （ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．（1）求常数a，b的值；（2）求证：曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；（3）是否存在常数k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e x （ax+a+b）…（1分）， 依题意， f(0)=2 f / (0)=4 ， 即 e 0 (a×0+b)=2 e 0 (a×0+a+b)=4 …（3分）， 解得a=b=2…（5分）． （2）记g（x）=e x （ax+b）-（4x+2）=2e x （x+1）-2（2x+1）， 则g′（x）=2e x （x+2）-4…（6分）， 当x=0时，g′（x）=0； 当x＞0时，g′（x）＞0； 当x＜0时，g′（x）＜0…（8分）， ∴g（x）≥g（0）=0，等号当且仅当x=0时成立， 即f（x）≥4x+2，等号当且仅当x=0时成立，曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点…（9分）． （3）x∈[-2，-1]时，4x+2＜0， ∴f（x）≥k（4x+2）恒成立当且仅当 k≥ f(x) 4x+2 = e x (x+1) 2x+1 …（10分）， 记 h(x)= e x (x+1) 2x+1 ，x∈[-2，-1]， h / (x)= e x (2 x 2 +3x) (2x+1) 2 …（11分）， 由h′（x）=0得x=0（舍去）， x=- 3 2 …（12分） 当 -2≤x＜- 3 2 时，h′（x）＞0； 当 - 3 2 ＜x≤-1 时，h′（x）＜0…（13分）， ∴ h(x)= e x (x+1) 2x+1 在区间[-2，-1]上的最大值为 h(- 3 2 )= 1 4 e - 3 2 ，常数k的取值范围为 ( 1 4 e - 3 2 ，+∞) …（14分）．