Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 1 2 ，且经过点 M(1， 3 2 ) ，过点

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 1 2 ，且经过点 M(1， 3 2 ) ，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存直线l，满足 PA ? PB = PM 2 ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) ，由题意得 1 a 2 + 9 4 b 2 =1 c a = 1 2 a 2 = b 2 + c 2 . 解得a 2 =4，b 2 =3，故椭圆C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． （Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）+1， 由 x 2 4 + y 2 3 =1 y=k(x-2)+1 得（3+4k 2 ）x 2 -8k（2k-1）x+16k 2 -16k-8=0． 因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ）， 所以△=[-8k（2k-1）] 2 -4?（3+4k 2 ）?（16k 2 -16k-8）＞0． 整理得32（6k+3）＞0． 解得 k＞- 1 2 ． 又 x 1 + x 2 = 8k(2k-1) 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 16 k 2 -16k-8 3+4 k 2 ， 且 PA ? PB = PM 2 ，即 ( x 1 -2)( x 2 -2)+( y 1 -1)( y 2 -1)= 5 4 ， 所以 ( x 1 -2)( x 2 -2)(1+ k 2 )=|PM | 2 = 5 4 ．即 [ x 1 x 2 -2( x 1 + x 2 )+4](1+ k 2 )= 5 4 ． 所以 [ 16 k 2 -16k-8 3+4 k 2 -2 8k(2k-1) 3+4 k 2 +4](1+ k 2 )= 4+4 k 2 3+4 k 2 = 5 4 ，解得 k=± 1 2 ． 所以 k= 1 2 ．于是存在直线l满足条件，其的方程为 y= 1 2 x ．