Question

过双曲线x2a2?y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别

过双曲线x2a2?y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B．若F2A＝AB，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．3x±y=0B．x±3y=0C．2x±3y=0D．3x±2y=0

Answer 1

∵F₂（c，0），∴y=-x+c，
渐近线y=

b

a

x，y=-

b

a

x，
由

y＝?x+c y＝ b a x

，得A（

ac

a+b

，

bc

a+b

），
由

y＝?x+c y＝? b a x

，得B（

ac

a?b

，

?bc

a?b

），
∴|

F2A

|=

(c? ac a+b )2+( bc a+b )2

=

2 bc

a+b

，
|

AB

|=

( ac a+b ? ac a?b )2+( bc a+b + bc a?b )2

=

2 2 abc

a2?b2

．
∵|

F2A

|=|

AB

|，∴

2 bc

a+b

＝

2 2 abc

a2?b2

．
解得b=3a，
∴双曲线的渐近线方程为3x±y=0．
故选A．