Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥CD交AB于E，F是BC上一点，连接EF，CF=EF．（1

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥CD交AB于E，F是BC上一点，连接EF，CF=EF．（1）证明：∠CDF=∠EDF；（2）当tan∠ADE=13时，求EF的长．

Answer 1

（1）过D作DM⊥CB，垂足为M，

∴∠DMB=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABMD为正方形，
∴AD=MD，
∵DE⊥DC，∴∠CDE=90°，
∴∠CDM+∠MDE=90°，
又∵∠EDA+∠MDE=90°，
∴∠CDM=∠EDA，
在△CDM和△EDA中，

∠CDM＝∠EDA DM＝DA ∠DMC＝∠DAE＝90°

，
∴△CDM≌△EDA（ASA），
∴CD=ED，
在△CFD和△EFD中，

CD＝ED CF＝EF DF＝DF

，
∴△CFD≌△EFD（SSS），
∴∠CDF=∠EDF；
（2）∵正方形ABMD的边长为6，∴AD=AB=MB=DM=6，
∵△CDM≌△EDA，
∴AE=CM，∠CDM=∠EDA，
∴tan∠CDM=tan∠ADE=

1

3

，
在Rt△CDM中，tan∠CDM=

CM

DM

=

1

3

，
∴AE=CM=2，CB=CM+MB=2+6=8，
设CF=EF=x，FB=8-x，EB=AB-AE=4，
在Rt△EFB中，根据勾股定理得：EF²=FB²+EB²，
即x²=（8-x）²+4²，解得：x=5，
则EF=5．