Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．求证：EF＝CF．

Answer 1

（1）证明：如图 过点D作BC的垂线，垂足为G 因为ABCD为直角梯形，∠A="90°" 所以，∠B="90°" 又DG⊥BC 所以，四边形ABGD为矩形 已知AB="AD=6" 所以，四边形ABGD为正方形 所以，AD=GD…………………………………………………（1） 已知DE⊥DC 所以，∠EDC="90°" 即，∠EDG+∠CDG="90°" 而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE="90°" 所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2） 又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3） 所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA） 所以，DE="DC" 已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF 边DF公共边 所以：△EDF≌△CDF（SAS） 所以，EF="CF"

过点D作BC的垂线，结合题中条件构建出正方形，然后通过证明三角形全等证明线段相等。