Question

如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：EF＝CF；
（2）当tan∠ADE＝1/3时，求EF的长．

Answer 1

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF
如图
过点D作BC的垂线，垂足为G
因为ABCD为直角梯形，∠A=90°
所以，∠B=90°
又DG⊥BC
所以，四边形ABGD为矩形
已知AB=AD=6
所以，四边形ABGD为正方形
所以，AD=GD…………………………………………………（1）
已知DE⊥DC
所以，∠EDC=90°
即，∠EDG+∠CDG=90°
而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE=90°
所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）
又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）
所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA）
所以，DE=DC
已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF
边DF公共
所以：△EDF≌△CDF（SAS）
所以，EF=CF

（2）当tan∠ADE= 1/3时，求EF的长
当tan∠ADE=1/3时，有：tan∠ADE=AE/AD=AE/6=1/3
所以，AE=2
那么，BE=AB-AE=6-2=4
由前面过程知，EF=CF，CG=AE=2
设BF=x
那么，在Rt△BEF中由勾股定理得到：EF=√(BE^2+BF^2)=√(x^2+16)
而：BF+CF=BG+CG=6+2=8
===> x+√(x^2+16)=8
===> √(x^2+16)=8-x
===> x^2+16=(8-x)^2=x^2-16x+64
===> 16x=48
===> x=3
所以，EF=√(x^2+16)=√(3^2+16)=5

Answer 2

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF
过点D作DG⊥BC，垂足为G
因为AD∥BC，∠A=90°
所以，∠B=90°
又DG⊥BC
所以，四边形ABGD为矩形
已知AB=AD=6
所以，矩形ABGD为正方形
所以，AD=GD…………………………………………………（1）
已知DE⊥DC
所以，∠EDC=90°
即，∠EDG+∠CDG=90°
而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE=90°
所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）
又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）
所以，由(1)(2)(3)知：△DAE≌△DGC（ASA）
所以，DE=DC
已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF
边DF公共
所以：△EDF≌△CDF（SAS）
所以，EF=CF

（2）当tan∠ADE= 1/3时，求EF的长
当tan∠ADE=1/3时，有：tan∠ADE=AE/AD=AE/6=1/3
所以，AE=2
那么，BE=AB-AE=6-2=4
由(1)得，EF=CF，CG=AE=2
那么，在Rt△BEF中由勾股定理得到：EF=√(BE^2+BF^2)

所以，EF=5

Answer 3

1):延长过点C作CG⊥AD于G
易知：∠AED+∠ADE=∠ADE+∠CDG=90°
∴∠AED=∠GDC
易证△EAD≌△DGC
∴ED=DC
∵∠EDF=∠CDF,且ED=DC,DF=DF
∴△EDF≌△CDF
∴EF=CF
(2):∵AD=AE，且AD=AB,E在AB上
∴B和E重合
∵∠BDC=90°
∴∠C=45°
∵BD=6√2
∴BC=12
∵BF=CF
∴BF=6，即EF=6

Answer 4

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF
如图
过点D作BC的垂线，垂足为G
因为ABCD为直角梯形，∠A=90°
所以，∠B=90°
又DG⊥BC
所以，四边形ABGD为矩形
已知AB=AD=6
所以，四边形ABGD为正方形
所以，AD=GD…………………………………………………（1）
已知DE⊥DC
所以，∠EDC=90°
即，∠EDG+∠CDG=90°
而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE=90°
所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）
又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）
所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA）
所以，DE=DC
已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF
边DF公共
所以：△EDF≌△CDF（SAS）
所以，EF=CF

（2）当tan∠ADE= 1/3时，求EF的长
当tan∠ADE=1/3时，有：tan∠ADE=AE/AD=AE/6=1/3
所以，AE=2
那么，BE=AB-AE=6-2=4
由前面过程知，EF=CF，CG=AE=2
设BF=x
那么，在Rt△BEF中由勾股定理得到：EF=√(BE^2+BF^2)=√(x^2+16)
而：BF+CF=BG+CG=6+2=8
===>x+√(x^2+16)=8
===>√(x^2+16)=8-x
===>x^2+16=(8-x)^2=x^2-16x+64
===>16x=48
===>x=3
所以，EF=√(x^2+16)=√(3^2+16)=5

Answer 5

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF
如图
过点D作BC的垂线，垂足为G
因为ABCD为直角梯形，∠A=90°
所以，∠B=90°
又DG⊥BC
所以，四边形ABGD为矩形
已知AB=AD=6
所以，四边形ABGD为正方形
所以，AD=GD…………………………………………………（1）
已知DE⊥DC
所以，∠EDC=90°
即，∠EDG+∠CDG=90°
而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE=90°
所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）
又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）
所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA）
所以，DE=DC
已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF
边DF公共
所以：△EDF≌△CDF（SAS）
所以，EF=CF

（2）当tan∠ADE= 1/3时，求EF的长
当tan∠ADE=1/3时，有：tan∠ADE=AE/AD=AE/6=1/3
所以，AE=2
那么，BE=AB-AE=6-2=4
由前面过程知，EF=CF，CG=AE=2
设BF=x
那么，在Rt△BEF中由勾股定理得到：EF=√(BE^2+BF^2)=√(x^2+16)
而：BF+CF=BG+CG=6+2=8
===>x+√(x^2+16)=8
===>√(x^2+16)=8-x
===>x^2+16=(8-x)^2=x^2-16x+64
===>16x=48
===>x=3
所以，EF=√(x^2+16)=√(3^2+16)=5