Question

设函数f（x）=x2+|2x-a|，（x∈R，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）记函数f（x）的最

设函数f（x）=x2+|2x-a|，（x∈R，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）；（3）g（a）的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+|2x-a|，
若f（x）为偶函数，
则f（-x）=x²+|-2x-a|=f（x）
即|2x-a|=|-2x-a|=|2x+a|
故a=0
（2）∵f（x）=x²+|2x-a|=

x2+2x?a，x≥ a 2 x2?2x+a，x＜ a 2

当a＜-2时，则当x=-1时，函数f（x）取最小值，即g（a）=f（-1）=-a-1
当-2≤a≤2时，则当x=

a

2

时，函数f（x）取最小值，即g（a）=f（

a

2

）=

a2

4

当a＞2时，则当x=1时，函数f（x）取最小值，即g（a）=f（1）=a-1
∴g（a）=

?a?1，a＜?2 a2 4 ，?2≤a≤2 a?1，a＞2

（3）由（2）得
当a＜-2时，g（a）＞1
当-2≤a≤2时，0≤g（a）≤1
当a＞2时，g（a）＞1
综上所述函数g（a）最小值为0